% 交代式
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\markright{tmt's math page}
\def\baselinestretch{1.33}
\begin{document}
\noindent\textbf{交代式}
$F(x,~y)$のような書き方は、$x$と$y$の$2$変数を含む式を表すものとする。たとえば
\begin{quote}
$\begin{array}{rcl}
F(x,~y) & = & x^2+y^2 \\
G(x,~y) & = & x^3-y^3
\end{array}$
\end{quote}
のように書く。
このとき、$F(y,~x)$と書けば$x$と$y$の文字を入れ替えた式を意味するので、先の式は
\begin{quote}
$\begin{array}{rcl}
F(y,~x) & = & y^2+x^2 \\
G(y,~x) & = & y^3-x^3
\end{array}$
\end{quote}
となる。$F$の式は文字の位置が違っても本質的に同じ式を表している。しかし、$G$の式は若干違う式に変身してしまった。それは正負が逆になったということだ。
$F$のように、$F(x,~y) = F(y,~x)$が成り立つ式は対称式だが、$G$のように、$G(x,~y) = -G(y,~x)$が成り立つ式は\textbf{交代式}と呼ばれる。対称式の基本は$x+y$と$xy$であるが、交代式は基本的に
\begin{quote}
$x-y$
\end{quote}
を含む。そして肝心なのは、交代式は基本対称式と$x-y$だけを用いて表すことができる点である。ちなみに$G(x,~y) = (x-y)(x^2+xy+y^2) = (x-y)\{(x+y)^2-xy\}$と書ける。交代式と名が付いてはいるが、結局のところ主役は基本対称式なのである。
さて、$x-y$が交代式の特徴であるが、一見すると交代式だが実は対称式という紛らわしい例がある。たとえば$(x-y)^2$がそうだ。式には$x-y$が含まれているので交代式を思わせる。しかし、これは$x$と$y$を入れ替えても式に変化はない。原因は平方式だからだ。この式は対称式である。対称式なら基本対称式だけで表せるはずである。実際、$(x-y)^2 = (x+y)^2-4xy$であるから、やはり$(x-y)^2$は対称式なのである。交代式に見せかけたものの、主役は対称式にもっていかれている。なかなか大きな顔をさせてもらえないのが交代式の宿命だ。
別の例では$|x-y|$があげられる。絶対値があるので、$x$と$y$を入れ替えても式に変化はない。交代式のようで実は対称式だ。しかし、残念ながらこの式は簡単に基本対称式だけで表せるわけではない。絶対値の助けを借りることで、どうやら交代式でも大きな顔ができるようになったみたいだ。
\end{document}