% ハミルトン - ケーリーの定理

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\begin{document}

\noindent{\bf ハミルトン-ケーリーの定理(Hamilton-Cally's theorem)}

「ハミルトン-ケーリーの定理」は「ケーリー-ハミルトンの定理」とも呼ばれるが、要するに$2$人の名前が冠された定理である。これは$2$次の正方行列を扱うときに重宝する定理で、$2$次の正方行列を$\displaystyle A = \left(\matrix{a&b \cr c&d}\right)$、単位行列を$E$、零行列を$O$とするとき
\begin{equation}
A^2-(a+d)A+(ad-bc)E = O \label{H-C-2}
\end{equation}
が成り立つというものだ。

おいおい。こんなものなら自分にだって発見できるぞ。これで、後生に名が残るなんてうらやましい限りだ。

一瞬そんな風に思えるほど、たしかに簡単な定理である。でも、本当はそうじゃない。ハミルトン-ケーリーの定理は
\[
Aをn次正方行列,\quad \Phi(\lambda) = \det(\lambda E-A)をその固有多項式とするとき\Phi(A) = 0~.
\]
というものである。ちょっと見ただけでは何のことかさっぱりの定理だが、線型代数学では重要な定理である。

ここで$n = 2$とすれば、定理より
\[
\Phi(\lambda) = \left|\lambda\left(\matrix{1&0 \cr 0&1}\right) -\left(\matrix{a&b \cr c&d}\right)\right| = \left|\matrix{\lambda-a & -b \cr -c & \lambda-d}\right| = \lambda^2-(a+d)\lambda+(ad-bc)
\]
となるから、結局$\Phi(A) = 0$であると言っている。$\Phi(A)$は$\lambda$に$A$を代入することなので、めでたく(\ref{H-C-2})の関係ができあがるのだ。納得したかな?

いくら何でも、ちょいと四則計算をしただけで定理を名乗れるほど、世の中は甘くない。そうそうウマイ話しは転がっていないというこだ。

\end{document}