% 3n+1
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\markright{tmt's math page}
\def\baselinestretch{1.33}
\begin{document}
\noindent\textbf{3n+1}
未だ、なぜそうなるのかよくわかっていないが、どうやら事実らしいということは多い。ここにあげる$3n+1$の問題もそんなものの一つだ。これは、まず勝手な数$n$を用意することから始める。そして$n$の偶奇によって次の操作を繰り返す。
\begin{quote}
$\begin{array}{rcl}
nが偶数のとき & \to & nを2で割る\\
nが奇数のとき & \to & nを3倍して1を足す
\end{array}$
\end{quote}
その結果、得られた数が新しい$n$となって、上の操作が繰り返される。計算は簡単なので、たとえば$12$がどうなっていくか示しておこう。
\begin{quote}
$12$ \quad$\to$\quad $6$ \quad$\to$\quad $3$ \quad$\to$\quad $10$ \quad$\to$\quad $5$ \quad$\to$\quad $16$ \quad$\to$\quad $8$ \quad$\to$\quad $4$ \quad$\to$\quad $2$ \quad$\to$\quad $1$
\end{quote}
$1$の続きを書いてないのは、この後、同じ操作をしても
\begin{quote}
$1$ \quad$\to$\quad $4$ \quad$\to$\quad $2$ \quad$\to$\quad $1$
\end{quote}
となって再び$1$に戻ることを繰り返すからである。
実はこのことは、どんな数にも当てはまる。つまりこの操作を繰り返せば、必ず$1$へたどり着くということだ。そして、これは事実らしいが証明がされたわけではない代物である。不思議なのは「$3$倍して$1$を足す」ところを、「$3$倍して$1$を引く」や「$5$倍して$1$を足す」に変えるとうまくいなかい点だ。どのようにうまくいかないかは、自分で試してみるとすぐ分かる。
ルールは「$3$倍して$1$を足す」でなければいけない。いろいろな数で試してみるとよい。必ず$1$にたどり着くから。しかし、はじめに選んだ数によっては大変なことになる。$27$から始めるとちょっと苦労するだろう。
\end{document}