% 1=-1 ?
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\markright{\sf tmt's math page}
\def\baselinestretch{1.33}
\begin{document}
\noindent{\bf 1=$-$1?}
虚数単位$i$の存在を知ると$i$がかかえる矛盾のようなものに出会うかもしれない。$i$は$2$乗すると$-1$になる単位だから
\[
\sqrt{-16} = 4i
\]
といった計算が成り立つ。であれば
\begin{eqnarray}
1 &=& \sqrt{1} \nonumber \\
&=& \sqrt{(-1)\cdot (-1)} \label{correct} \\
&=& \sqrt{-1}\sqrt{-1} \label{faulse} \\
&=& i\cdot i \nonumber \\
&=& -1 \nonumber
\end{eqnarray}
としてかまわないはずだ。しかし明らかにこれはおかしい。これでは虚数単位を導入しても矛盾を生じてしまうので、そもそも虚数という数を考えること自体おかしいとなりかねない。原因はどこにあるのだろうか。
このおかしな結果を導くことになったところは、(\ref{correct})から(\ref{faulse})へ移るところだ。私たちが何気なく使っている性質
\begin{equation}
\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b} \label{seisitu}
\end{equation}
は虚数単位がからんでくると成り立たない。
そもそも性質(\ref{seisitu})は、「（$0$以外の）どんな数でも$2$乗すれば必ず正の数になる」ことが前提になっている。そして記号「$\sqrt{a}$」は、「$2$乗して$a$になる（もとの）数」の意味合いで使われている。つまり$\sqrt{a}$の中にある数$a$は正の数（または$0$）しか想定していないのである。だから当然(\ref{seisitu})は $a$,~$b > 0$ であるときに限って成り立つ性質なのである。$\sqrt{1}$は$\sqrt{(-1)\cdot(-1)}$までは良いが、$-1$は正の数ではないので(\ref{seisitu})の性質は使えない。
虚数単位$i$の導入に関しては、$a > 0$について
\[
\sqrt{-a} = \sqrt{a}i
\]
と書くことだけである。
\end{document}