% 142857
\documentclass{jsarticle}
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\markright{tmt's math page}
\def\baselinestretch{1.33}
\begin{document}
\noindent\textbf{142857}
少しばかり不思議な数がある。$142857$がそれだ。
電卓があれば簡単に試せるが
\begin{quote}
$\begin{array}{rcl}
142857\times1 & = & 142857 \\
142857\times2 & = & 285714 \\
142857\times3 & = & 428571 \\
142857\times4 & = & 571428 \\
142857\times5 & = & 714285 \\
142857\times6 & = & 857142
\end{array}$
\end{quote}
と、実に見事な結果になる。何が見事かといえば、答えはすべて$142857$の数字の並びを巡回させているだけだ。しかも巡回を余すことなく使っている。気になって次の掛け算、つまり
\begin{quote}
$142857\times7$
\end{quote}
をやってみると、答は$999999$になってしまう。どうしたことだろう。
秘密は$1/7$にある。$1/7$は
\begin{quote}
$\displaystyle \frac{1}{7} = 0.142857142857\dots$
\end{quote}
なので、両辺を$7$倍すれば、当然
\begin{quote}
$1 = 0.999999\dots$
\end{quote}
である。$142857\times7 = 999999$ は、循環節を一部抜き出しているにすぎない。
似たようなもので$076923$をあげよう。これは
\begin{quote}
$\begin{array}{rcl}
076923\times1 & = & 076923 \\
076923\times3 & = & 230769 \\
076923\times4 & = & 307692 \\
076923\times9 & = & 692307 \\
076923\times10 & = & 769230 \\
076923\times12 & = & 923076
\end{array}$
\end{quote}
となって、やはり似たような巡回をするが飛び飛びの乗数が掛けられている。
ところが$0588235294117647$は完璧だ。これは$1$から$16$までのすべての乗数において、$142857$同様の巡回をする。$1/N$が$N-1$の循環節をもつ場合の特権だ。
\end{document}