% 142857
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\def\baselinestretch{1.33}
\begin{document}
\noindent{\bf 142857}
少しばかり不思議な数がある。$142857$がそれだ。
電卓があれば簡単に試せるが
\begin{eqnarray*}
142857\times1 &=& 142857 \\
142857\times2 &=& 285714 \\
142857\times3 &=& 428571 \\
142857\times4 &=& 571428 \\
142857\times5 &=& 714285 \\
142857\times6 &=& 857142
\end{eqnarray*}
と、実に見事な結果になる。何が見事かといえば、答えはすべて$142857$の数字の並びを巡回させているだけだ。しかも巡回を余すことなく使っている。気になって次の掛け算、つまり
\[
142857\times7
\]
をやってみると、答えは$999999$になってしまう。どうしたことだろう。
秘密は$1/7$にある。$1/7$は
\[
\frac{1}{7} = 0.142857142857\cdots
\]
なので、両辺を$7$倍すれば、当然
\[
1 = 0.999999\cdots
\]
である。$142857\times7 = 999999$ は、循環節を一部抜き出しているにすぎない。
似たようなもので$076923$をあげよう。これは
\begin{eqnarray*}
076923\times1 &=& 076923 \\
076923\times3 &=& 230769 \\
076923\times4 &=& 307692 \\
076923\times9 &=& 692307 \\
076923\times10 &=& 769230 \\
076923\times12 &=& 923076
\end{eqnarray*}
となって、やはり似たような巡回をするが飛び飛びの乗数が掛けられている。
ところが$0588235294117647$は完璧だ。これは$1$から$16$までのすべての乗数において、$142857$同様の巡回をする。$1/N$が$N-1$の循環節をもつ場合の特権だ。
\end{document}