% 5個のカップ(A)
\documentclass{jsarticle}
\pagestyle{myheadings}
\markright{tmt's math page}
\renewcommand\baselinestretch{1.33}
\begin{document}
\section*{■$5$個のカップ(A)■}
次のようなゲームに$100$円を払って参加するとしよう。このゲームは、当たり札を引けば掛け金の$2$倍のお金が戻ってくるというものだ（$100$円賭ければ$200$円が戻り$100$円の儲けになる）。
ゲームはこんな具合だ。中が見えないカップが$5$個伏せてある。そのうち、$2$個のカップには当たり札が、$3$個のカップにはハズレ札が入っている。あなたは、一つのカップを選択し、$100$円を払う。そして、残った$4$個のカップのうち、``胴元が選んだ''2個のカップを開けて、中の札を確認できるものとする。
このとき、あなたは次の選択ができる。
\begin{quote}
\begin{itemize}
\item $100$円を追加し---つまり掛け金を$200$円とし---選択したカップを開ける
\item ゲームを中止し$100$円を返してもらう
\end{itemize}
\end{quote}
さて、どのような戦略で臨むのが最も有利なんだろう。
たとえば、$2$個のカップを開けて中の札を確認して、そこに当たり札が$2$枚あったら、もう他には当たりはない。もちろん、あなたはゲームを中止するだろう。では、$1$枚の当たり札と$1$枚のハズレ札を確認できたらどうしよう。この場合は、まだ$1$枚の当たり札が隠れているが、ハズレ札だって$2$枚隠れている。当たる公算は低そうだから、やっぱりあなたはゲームを中止するだろう。では、ハズレ札を$2$枚確認できたらどうしよう。この場合は、$2$枚の当たり札と$1$枚のハズレ札が隠れている。これなら当たる公算が高そうだ。思い切って掛け金を倍にして勝負するのがよいだろう。
ということで、戦略は次のようになる。どうだ、これで大金をせしめることができるぞ。
\begin{quote}
\begin{tabular}{lcl}
$\bullet$ $2$枚の当たりを確認 & $\to$ & ゲームを中止 \\
$\bullet$ $1$枚の当たりと$1$枚のハズレを確認 & $\to$ & ゲームを中止 \\
$\bullet$ $2$枚のハズレを確認 & $\to$ & 掛け金を倍にしてカップを開ける \\
\end{tabular}\par
\end{quote}
はっはーっ、残念でした。大金どころか大損コースまっしぐらだよー。もし、あなたが「$3$枚の扉」を読んだ後にもかかわらずこの戦略を支持してたら、``教訓を活かす''って言葉を思い出してほしい。教訓は活かさなくちゃ。
なぜ、この戦略がまずいのだろう。それは、あなたがどのカップを開けようとも、はじめに選んだカップに当たり札が入っている確率は$2/5$だ。これは、五分五分より分が悪い。たとえ、あなたが$4$個のカップを開け、そこに$1$枚の当たり札と$3$枚のハズレ札を確認したとしてもだ。え？と感じるかもしれないね。この場合なら、$100$\%当たり札を引けるのではないかって思う？
そう、この場合なら$100$\%当たり札を引ける。ただし、あなたが$4$個のカップを開けたとき、そのような状態になっている可能性は$2/5$なんだよ。そして、$3/5$の確率で$2$枚の当たり札と$2$枚のハズレ札を確認することになる。この場合は$100$\%ハズレ札を引くんだ。
結局、カップを開ける行為は、最初に計算できる確率を変えることはない。変わるのはあなたの心境だけということだ。
\end{document}