% 納得するためには必要なことがある

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\def\tK{\item[t\textbf{K:}]}
\def\sB{\item[s\textbf{B:}]}
\def\sO{\item[s\textbf{O:}]}

\begin{document}

\section*{●納得するためには必要なことがある●}

\begin{enumerate}

\tK ありゃりゃ、何を揉（も）めているのかな？

\sB あ、楠雄（くすお）ちゃん。

\tK おほん。升待（ますまち）先生と言いなさい。

\sO まあ、いいじゃないですか。

\tK よくないだろ．．．ん？　数学の勉強かな？　感心、感心と言いたいところだが、数学の試験は明日だろう。そういうのを付け焼き刃と言うのだ。

\sO もー！　やる気が失せる言い方はやめてください。

\sB そうですよ。最後の追い込みなんだから。だけど、コイツがじゃまするんだよね。

\sO じゃましてないだろ。分からないことを聞いてるだけじゃないか。

\sB それ、テストに関係ないだろ？

\sO 関係あるから聞いてるんじゃないか。

\tK なんだ、騒ぎの元はそんなことか。で、一体どういうことで揉めてたの？

\sB ボクが問題を解いている最中に、コイツがいちいちどうでもいいことを聞いてくるんだよ。

\sO そうじゃないって。オレは分からないから教えてくれって言ってるんだ。

\sB でも、カンケーないことばっか聞くよね？

\sO カンケーあるから聞いてんの！

\tK 待て待て。ちゃんと話を聞こう。いま揉める原因となったのはどういうこと？

\sO この問題です。解答には$1-t$と置くことになってるけど、どこから$1-t$が出てきたのか分かんないんですよ。で、なんで$1-t$なのか聞いたら、それは公式だって言われて$\dots$。

\sB だって、公式じゃん。この問題はそうやって解くんだから。公式を使う理由を聞かれても答えようがない。

\tK なるほど。それは先生にも少し責任があるな。

\sB え？

\tK あ、いや。たしかに授業では、この問題は$1-t$と置くのが定石と教えたからね。$1-t$と置く理由もサラリと言ったけど、定石として覚えることが先決とも言ったしね。

\sO え？　$1-t$の理由も言ってたの？　聞いてないよ。

\tK 覚えてないのも無理はない。聞き流して構わないと言ったからね。

\sO じゃあ、もう一度教えてください。

\tK 教えてもいいのだけど、数学の試験は明日なんだろ？　$1-t$の理由を納得するより、今日のところは定石として覚えておく方がいいと思うよ。$1-t$と置く理由は試験が終わってからでも遅くない。最終的には入試に活かせればよいのだから。

\sB ほらみろ。

\sO え〜、それじゃスッキリしないんだよな〜。

\tK 気持ちは分かるが、試験の点数を高めるためには割り切ることも必要だ。

\sB そうだよ。おまえはカンケーないところでつまずくから数学ができないんだろ？

\sO けど、納得できないまま先へ進んでも、結局は先の方でつまずくわけでしょ。数学は積み上げの勉強って言うじゃない。

\tK おっと、少し誤解があるようだな。たしかに数学は積み上げる面があるが、ある程度割り切って積み上げないと伸びるものではない。それに、納得するためには積み上がっているものが必要だ。

\sO どういうことですか？

\tK 数学を理解することと数学の試験でよい点数を取ることは別物だということだ。割り切って勉強すれば表面的な理解でも点数は取れる。でも、納得づくで理解したいなら、そのための土台ができてなければ無理だろうな。

\sO じゃあ、おまえは割り切って勉強してるってこと？

\sB まあ、そんな感じかな。この問題だって、$1-t$と置くことは理解したつもりだよ。そういうもんだと思ってるから。

\sO そういうもんってなに？　置く理由が大事じゃないの？

\sB 理由は、定石だから。

\sO それ、理由になってない。

\tK 待て待て。ちょっと話を変えよう。たとえば$0.999\dots = 1$ってのは知ってるね？

\sB 知ってます。けど、それはテスト範囲とは無関係ですよね。

\sO え？　$0.999\dots$は$1$よりほんのわずか小さいでしょう。

\sB 等しいよ。リミットの計算しただろ？

\sO は？

\tK 待て待て。二人とも感覚的には正しい。けど、その前にたとえ話をするぞ。将棋や囲碁は知ってるかな？

\sB また突然に$\dots$。

\sO 簡単なルールぐらいなら。

\tK ああ、それなら好都合。将棋や囲碁はある局面に対して何通りもの差し手があるものだが、『この局面はこの一手』という場面もある。素人目にはこれやあれも候補じゃない？と思えても、高段者やAIから見れば全員一致で確定した手が見えるものらしい。

\sB ああ、そういうときってよくありますね。ボクも高段者の読みの深さに感嘆してます。

\tK そうなんだよ。\textgt{ある域に達しないと理解できないことってあるんだ}。将棋や囲碁もある域に達した高段者なら、誰もが共通に同じ見解になる局面はある。同様に、$0.999\dots = 1$ってのも、ある域まで勉強してようやく納得というか、身に染みて理解できるようになるものだと思う。

\sB ボクはその域に達してるってことですか？

\tK たぶん、まだ到達してないと思うよ。

\sB えー？　リミットの計算で納得したつもりなんだけど。

\tK うん。$0.999\dots = 0.333\dots\times3 = 1/3\times3 = 1$で納得する人もいるし、リミットの計算を見ても納得しない人もいる。それは人それぞれだから問題ない。リミット計算で納得したならそれでよい。

\sO オレはその計算には納得しかねるね。$0.999\dots$と$1$は別物だよ。

\tK うん。それも正しい感覚だから悪くない。でも、本当に$0.999\dots = 1$を理解するには、おそらく\textgt{実数の連続性}とか\textgt{切断}とかの考えが腑に落ちる必要があると思う。だから、そこまで勉強した人なら皆『$0.999\dots = 1$である』と確信を持って答えるはずだ。そういう理解がないうちは、式は正しく見えても何かモヤモヤした感覚を抱えるものだよ。

\sB ボクはスッキリ理解したつもりだけどなあ。

\tK ならばそれでいいじゃなか。でも、この先なんとなく変に感じることがあるかもしれない。そのときは実数の連続性や切断について学んで理解を深めればいい。つまり、そういうことだ。

\sO なにがそういうこと？

\tK 数学を理解することと数学の試験でよい点数を取ることは別物ということ。数学を理解するというのは、中学なら中学の、高校なら高校の数学についてある域に達することをいう。しかし、それには相応の理解が必要だし、ある域に達するにはその直前の域に達していないといけない。いま問題になった$1-t$と置くことにはれっきとした理由があるのだが、理解できる域に達していなければ納得できないだろう。しかし、そのために他の何かを犠牲にしてでも納得するまで勉強するかね？

\sO それはしたくないですね。

\tK そうだろう。君たちに与えられた時間は有限でしょ。受験までの勉強と思えば、最小の時間で最大の効果を得なきゃならない。納得するまで深く勉強するより、ある程度のところで割り切るしかないんだ。

\sB ボクは結構割り切ってる方かな。

\sO じゃあ、オレも割り切って勉強しろと。

\tK そういうこと。とくに明日が試験だというのに、いまさら根本から納得しようというのが無理な話。極端なことを言えば、試験に出そうな物を丸暗記しておきなさい。

\sB マジで言ってますか？

\tK 明日の試験対策として真面目に言っているのだよ。だいたい君たち生徒は数学の勉強の仕方が間違っている。直前にまとめて勉強する者、事細かに納得しないと次へ進めない者、この二つのタイプが多いけれど、どっちもダメだな。

\sO だったらオレはダメダメじゃないか。

\tK そういうことになるね。正しい勉強法は、\textgt{自分で考え、分からなくなったら少し前の定義や例題に戻って真似ること}だ。そうしてはじめて納得できるようになる。

\sB でも、そんなヒマはないです。数学の勉強だけしてればいいってわけじゃないし。

\tK その通り。さっきも言ったように時間の制約があるからね。だから、どこかで割り切って端折（はしょ）る必要がある。

\sO 暗記に頼れってことですか？

\tK そうじゃない。\textgt{自分で考えて真似ることは省いてはいけない}。端折るのは『納得する』部分だ。納得できなくても『そういうもの』と思って進めるべきだ。少しモヤモヤした気持ち悪さは残るが、まずできることを増やした方がよい。時間が経てば自然とモヤモヤは解消するはずだ。

\sB 本当ですか？

\tK そう、間違いなくモヤモヤは解消する。運がよければ後になって納得できるようになるから、それでモヤモヤは解消だ。たとえ運悪く納得できなくても、問題が解けるようならモヤモヤは感じなくなっているだろう。

\sO はあ？　詐欺みたいなこと言わないでくださいよ。

\tK そうだね。詐欺みたいな話だが、試験でよい点数を取ることが目的ならそれで構わないのではないかな？

\sB ああ、そういうことか。たしかに数学者になるわけじゃないから、テストの点数さえよければいいのか。

\tK 君たちはそれでいいのだろうが、先生はそういう意味で言ったわけではないよ。ある域に達しない限り納得することが難しいものはたくさんある。他人の説明で分からない場合は説明が悪いのではなく、\textgt{説明を理解できる域に達していない可能性の方が高い}。だから、割り切った勉強で一応の理解を得るのがよいと言ったんだ。勉強を続けていればいずれ納得できるようなときが来るさ。

\end{enumerate}

\end{document}