% その$4/3$って何？--2--
\documentclass[a4j]{jsarticle}
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\markright{\sf tmt's math page}
\def\baselinestretch{1.33}
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\usepackage{tmtmath}
\begin{document}
\section*{◆その$4/3$って何？--2--◆}
\subsection*{カバリエリの定理}
底面の半径が$r$、高さが$h$の円錐の体積が$\dfrac{1}{3}\pi r^2h$であることが分かったところで、いよいよ球の体積を求めるときがきました。計算自体は周知の公式だけを用いますが、その前に感覚的に認めてもらいたいことがあります。それが{\bf カバリエリの定理}です。
\begin{drawpict}[1pt](240, 110)(0, 0)
\put(20, 70){\line(-1,-1){40}} %切平面
\put(-20, 30){\line(1,0){255}}
\put(235, 30){\line(1,1){40}}
\put(275, 70){\line(-1,0){35}}
\put(160, 70){\line(-1,0){60}}
\qbezier(20, 85)(25, 95)(55, 95) %底面上
\qbezier(55, 95)(90, 90)(90, 85)
\qbezier(90, 85)(90, 70)(50, 70)
\qbezier(50, 70)(20, 75)(20, 85)
\qbezier(20, 85)(30, 50)(30, 10) %側線
\qbezier(90, 85)(110, 30)(90, 10)
\qbezier(30, 10)(40, -10)(90, 10) %底面下
\baseskip{140}
\siiiide(20, 85)(40, 75)(90, 85)(60, 100) %底面上
\qbezier(60, 100)(40, 95)(20, 85)
\qbezier(20, 85)(30, 50)(30, 10) %側線
\qbezier(40, 75)(50, 50)(50, 0)
\qbezier(90, 85)(110, 30)(90, 10)
\qbezier(30, 10)(40, -10)(90, 10) %底面下
\end{drawpict}
カバリエリの定理は、「$2$つの立体を平行な平面で切り、その切断面の面積が常に等しいならば、$2$つの立体の体積は等しい」というものです。たとえば$10$円玉を$20$枚程度まっすぐに積み上げたものが、右と左にあると思ってください。もちろん、出来上がった立体は同じ体積です。そのとき一方の山に対して、崩れない程度に、指で側面を押して形をゆがめてみましょう。立体の形は変わっても、きっと同じ体積のはずです。カバリエリの定理は、こんな感じのことを言っているのです。
\subsection*{球の体積}
カバリエリの定理を理解したところで、いよいよ球の体積を計算します。
\begin{drawpict}[1pt](240, 120)(-50, -50)
\put(-50, 40){\line(-1,-2){25}} %切平面
\put(-75, -10){\line(1,0){270}}
\put(195, -10){\line(1,2){25}}
\put(220, 40){\line(-1,0){35}}
\put(95, 40){\line(-1,0){50}}
\put(-45, 40){\line(-1,0){5}}
\def\huskcolumn{
\qbezier(-40, 40)(-35, 55)(0, 55) %底面上
\qbezier(0, 55)(35, 55)(40, 40)
\qbezier(40, 40)(30, 25)(0, 25)
\qbezier(0, 25)(-30, 25)(-40, 40)
\qbezier(-40, 40)(-40, 0)(-40, -40) %側線
\qbezier(40, 40)(40, 0)(40, -40)
\qbezier(-40, -40)(-35, -55)(0, -55) %底面下
\qbezier(0, -55)(35, -55)(40, -40)
\bezier{80}(0, 0)(0, 20)(0, 40) %半径
\slur-(0, 0)(0, 40){$r$}
\bezier{80}(0, 40)(20, 40)(40, 40)
\slur-(0, 40)(40, 40){$r$}
\slur+(0, 0)(0, 20){$x$} %切平面の位置
}
\huskcolumn
\arcdegree(0, 0, 40)(0, 360) %球
\bezier{80}(0, 0)(17, 10)(34, 20)
\slur+(0, 0)(34, 20){$r$}
\bezier{60}(0, 20)(17, 20)(34, 20)
\baseskip{140}
\huskcolumn
\siide(-40, 40)(40, -40) %円錐
\siide(-40, -40)(40, 40)
\bezier{50}(0, 20)(10, 20)(20, 20)
\end{drawpict}
左は、半径$r$の球にちょうど外接する円柱を描いています。したがって、円柱の底面---上面も底面と呼ぶんですよ---は半径$r$の円で、高さは$2r$になります。右は、左と同じ円柱の$2$つの底面から、円錐をくり抜いたものと見てください。くり抜く円錐は、底面が半径$r$の円で高さが$r$の円錐です。そして、これら$2$つの立体を、球（もしくは円柱）の中心から$x$の高さで、底面に平行な平面で切ったところです。
切断面はどうなっているでしょうか。
\begin{drawpict}[1pt](240, 110)(-50, -50)
\put(-60, 50){\line(0,-1){100}} %切平面
\put(-60, -50){\line(1,0){265}}
\put(205, -50){\line(0,1){100}}
\put(205, 50){\line(-1,0){265}}
\arcdegree(0, 0, 34)(0, 360)
\siide(0, 0)(34, 0)
\slur-(0, 0)(34, 0){\makebox(0, 0)[b]{$\sqrt{r^2-x^2}$}}
\baseskip{140}
\arcdegree(0, 0, 40)(0, 360)
\arcdegree(0, 0, 20)(0, 360)
\siide(0, 0)(40, 0)
\slur-(0, 0)(40, 0){\makebox(0, 0)[b]{$r$}}
\slur+(0, 0)(20, 0){\makebox(0, 0)[t]{$x$}}
\end{drawpict}
左は球の断面である円です。この円は球の中心から$x$の高さにあって、円の縁は球の中心から$r$だけ離れています。このことから、円の半径が直角三角形の一辺であることが分かります。そこで、三平方の定理から、円の半径が$\sqrt{r^2-x^2}$であることが分かります。したがって、この断面円の面積は$\pi(\sqrt{r^2-x^2})^2 = \pi(r^2-x^2)$です。
一方、右の断面はドーナツ型の図形で、求めたい面積は$2$つの円に挟まれた部分です。外側の円は円柱の側面ですから、半径は常に一定の値$r$です。また、内側の円はくり抜いた円錐の底面と相似で、高さ$x$における切断面ですから、半径は$x$です。すると、$2$つの円に挟まれた部分の面積は$\pi r^2-\pi x^2 = \pi(r^2-x^2)$であることが分かります。
いま、$x$の位置は任意の場所と考えていますから、これら$2$つの立体はどの位置で切断しても、その切り口の面積は$\pi(r^2-x^2)$で等しい値となります。すなわち、カバリエリの定理から、これら$2$つの立体の体積は等しいことになります。つまり、球の体積を求めたければ、円柱から$2$つの円錐をくり抜いた立体の体積を求めればよいのです。
円柱から$2$つの円錐をくり抜いた立体の体積は、簡単に求められます。それは
\[
(円柱)-(円錐)\times2 = (\pi r^2\times2r) - \left(\frac{1}{3}\pi r^2\times r\right)\times2 = \frac{4}{3}\pi r^3
\]
です。ほらね、自然に$\dfrac{4}{3}$が付きました。
\subsection*{球の表面積}
これで、球の体積を求める公式に$\dfrac{4}{3}$があることが納得できたでしょうか。ついでなので、さらに球の表面積を求める公式が$4\pi r^2$であることも説明しておきましょう。
\begin{drawpict}[1.2pt](100, 100)(-50, -50)
\arcdegree(0, 0, 50)(0, 360)
\pooooly(-30, -35)(-20, -37)(-21, -30)(-27, -27) %2円錐
\siide(-20, -37)(-27, -27)
\siide(-30, -35)(0, 0)
\siide(-20, -37)(0, 0)
\siide(-21, -30)(0, 0)
\siide(-27, -27)(0, 0)
\poooly(25, 0)(30, 5)(23, 7) %1円錐
\siide(25, 0)(0, 0)
\siide(30, 5)(0, 0)
\siide(23, 7)(0, 0)
\bezier{3}(41, -15)(44, -15)(44, -15) %かげ
\bezier{6}(37, -20)(43, -20)(43, -20)
\bezier{11}(30, -25)(41, -25)(41, -25)
\bezier{15}(22, -30)(37, -30)(37, -30)
\bezier{19}(14, -35)(33, -35)(33, -35)
\bezier{21}(5, -40)(26, -40)(26, -40)
\bezier{22}(-3, -45)(19, -45)(19, -45)
\end{drawpict}
まず、球の表面を無数の三角形で埋め尽くすように分割します。そして、それらの三角形を底辺に見立てて、球の中心に向けて三角錐を作ります。この三角錐で球体が充填されることは分かるでしょうか。底面である三角形は、様々な形、様々な面積をもつことでしょう。それらを、$s_1$, $s_2$, $s_3$, \ldots で表します。しかし、三角錐の高さは球の半径である$r$と考えてよいでしょう。三角錐を全部集めて球になるので、それぞれの体積を計算して
\[
\frac{1}{3}s_1r+\frac{1}{3}s_2r+\frac{1}{3}s_3r+\cdots = \frac{4}{3}\pi r^3
\]
が成り立ちます。両辺に$3$を掛けて、$r$で割ると
\[
s_1+s_2+s_3+\cdots = 4\pi r^2
\]
となります。$(s_1+s_2+s_3+\cdots)$は球の表面を覆う面積、すなわち表面積です。これで球の表面積が$4\pi r^2$であることが分かりました。
\end{document}