% 乗数・被乗数の常識・非常識
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\begin{document}
\section*{◆乗数・被乗数の常識・非常識◆}
「$1$あたり量」というものがあります。もちろん、掛け算をするときに用いる考えです。$3$個入りのキャラメル箱では$1$あたり量は$3$個、$8$m$^2$の花壇に$20$本の花が咲いていれば$1$あたり量は$2.5$本、となるわけです。すると、いまのキャラメル箱を例にとれば、同じ箱が$5$つあるときは
\begin{equation}
(1あたり量3個)\times5 = 15(個) \label{sampleOfCaramel}
\end{equation}
のキャラメルがあることになります。また、花壇の例では、2m$^2$の一角には
\[
(1あたり量2.5本)\times2 = 5(本)
\]
の花が咲いている計算になるでしょう。
このような計算では$1$あたり量を「被乗数」と呼び、$1$あたり量がどれだけあるか示す数を「乗数」と呼びます。乗数は「加える回数」と考えてもよいので 、(\ref{sampleOfCaramel})は$3$を$5$回加える意味にとって
\[
3\times5 = 3+3+3+3+3
\]
と考えてもかまいません。ただ、乗数が常に加える回数になるとは限りません。花壇の例で$5.3$m$^2$の一角を考える$2.5(本)\times5.3$では、$5.3$を加える回数とは呼べないでしょう。端数があっても掛け算の本質に影響はありませんが、ここでは端数のない乗数で考えることにします。
いずれにせよ、掛け算の基本は
\[
(被乗数)\times(乗数) = (1あたり量)\times(数量)
\]
になっています。特に(乗数)が自然数のときは、(数量)を(加える回数)と読み替えることができます。このことから(\ref{sampleOfCaramel})を
\begin{equation}
5\times3 =15 \label{reverseOfSample}
\end{equation}
とするのは、答はあっていても式が違うと解釈されることもあるようです。実際、$15$の答は$3+3+3+3+3$より求められるはずですから、(\ref{reverseOfSample})の掛け算の解釈が
\[
5\times3 = 3+3+3+3+3
\]
となり、(乗数)を(被乗数)回加えるという変な結果になりそうです。
本当にそうでしょうか？
私からの結論は「$3$個入りのキャラメル箱が$5$つあるときのキャラメルの総数」は
\begin{eqnarray}
3+3+3+3+3 &=& 3\times5 = 15 \label{3times5is} \\
3+3+3+3+3 &=& 5\times3 = 15 \label{5times3is}
\end{eqnarray}
のいずれでも、文句なく正解というものです。\.文\-\.句\-\.な\-\.くというのは、立式も答も正しいということです。(\ref{5times3is})の感覚には馴染めない人も多いでしょうが、間違いなく正解です。
まず、(\ref{3times5is})と(\ref{5times3is})が共に正しいとする理由に、日本語と英語の言葉の特性をげましょう。日本語で「$3\times5$」は「$3$かける$5$」と読み、「$3$を$5$回合わせる」意味にとりますから(\ref{3times5is})が自然な立式になっています。また、英語でも「$3\times5$」は「$3${\it multiplied by}$5$」と読み、「$5$(回) にわたって増殖される$3$」の意味なら(\ref{3times5is})とするのでしょう。ただ、普段は「$3\times5$」を「$3${\it times}$5$」と読みますから、「$5$の$3$回分」の意味あいで「$3\times5 = 5+5+5$」と考えることもできます。すると英語では、「$5\times3$」のときが「$5${\it times}$3$（$3$の$5$回分）」ですから、(\ref{5times3is})がまったく自然な立式だと思われます\footnote{ここの段落の内容は、実際にアメリカで子供を小学校に通わせている方が、そこのアメリカ人数学教師から受けた回答をもとに作成しました。}。
したがって、掛け算における乗数・被乗数の関係は
\[
(被乗数)\times(乗数) = (1あたり量)\times(回数)
\]
にもなり得るし、
\[
(被乗数)\times(乗数)= (回数)\times(1あたり量)
\]
にもなり得るわけです。
実は掛け算とは、繰り返し同じ数を加える足し算$a+a+\cdots+a$において、記号$\times$と繰り返しの回数$n$を用いて\.書\-\.き\-\.直\-\.し\-\.た\-\.式を指しているのです。この基準に従えば、$a+a+\cdots+a$を$a\times n$と書き直そうが$n\times a$と書き直そうがかまわないのです。だって、ちゃんと記号$\times$と回数$n$が明示されているんだから。にも関わらず日本では$a+a+\cdots+a = a\times n$、アメリカでは$a+a+\cdots+a = n\times a$と固定・習慣化されているのは、$\times$の前後で$1$あたり量である$a$と回数である$n$の区別がつくからでしょう。つまり$4\times7$のとき、日本では$4$が$1$あたり量である$a$、アメリカでは$7$が$1$あたり量である$a$という具合にです。
それならば日本語で考えたら、「$3$個入りのキャラメル箱が$5$つあるときのキャラメルの総数」を求める式は$3+3+3+3+3 = 3\times5$が当然であって、$5\times3$になるわけないじゃない。だからこの問題を$5\times3=15$とする人は、\.考\-\.え\-\.方が間違っているんだよ、と反論したい気持ちになるでしょう。ところが、一概にそうとは言えないのです。実は、日本語と英語の特性とは無関係であることが説明できます。話はちょっと長くなりますが、聞いてください。
まず始めに、次の文章を式にしてみましょう。
\[
\begin{array}{rl}
\rm(a) & 3つ子が2枚ずつの切符を持っている \\
\rm(b) & 3つ子が2回自動改札を通過する
\end{array}
\]
(a)では切符の総数を、(b)では改札を通過したのべ人数を求めるものとします。このとき、文章の内容を考えながら足し算で立式すると、きっと日本語も英語も同じ式になるはずです。おそらく自然に
\[
\begin{array}{rl}
\rm(a) & 2+2+2 \\
\rm(b) & 3+3
\end{array}
\]
となるでしょう。そして日本語であれば(a)は$2+2+2 = 2\times3$と書くはずです。もし(a)を日本語で考えていながら$3+3$と見る人がいるなら、その人は$(右手の切符3枚)+(左手の切符3枚)$と見ていなくてはなりません。と同時に、その人は別の$1$あたり量を持っていることに注意しましょう。つまり(a)を$2+2+2$と見れば、$1$あたり量は（$1$人あたり）$2$枚ですから$2+2+2 = 2\times3$ですが、$3+3$で見ている人の$1$あたり量は（片手あたり）3 枚ですから$3+3 = 3\times2$なのです。この見方は特殊な見方だと思いますが、だからといって間違った解釈でもありません。そのような理由から、(a)の立式が$2\times3$になることも$3\times2$になることもあり得ると思うのです。
このことは(b)に対しても同様で、(b)を日本語で考えていながら$2+2+2$と見る人がいるなら、その人は（$3$つ子の中の）$({\rm A}が2回)+({\rm B}が2回)+({\rm C}が2回)$と見ているはずです。もちろんそのときは$1$あたり量が変化しています。$3+3$なら$1$あたり量は（$1$回あたり）$3$人で、$2+2+2$なら$1$あたり量は（1人あたり）$2$回です。
そうなってくると、掛け算の式を見ただけでは、どちらの数が$1$あたり量なのか判別するのは難しいでしょう。実際のところ(a)、(b)共に掛け算で立式した場合、日本語で思考しても英語で思考しても、ほとんどの人が$3\times2$とするでしょう。なぜなら式を作る際には、いちいち$1$あたり量のことは頭にないでしょうから。この計算は掛け算で求めることができ、掛け算においては掛ける順序は問題にならないために、きっと文章の中で先に現れた数から掛け始めると思われます。だから質問が
\[
\begin{array}{rl}
\rm(a) & 2枚ずつの切符が3つ子に持たれている \\
\rm(b) & 2回にわたって3つ子が自動改札を通過する
\end{array}
\]
のような言い方になっていたら、きっと$2\times3$とする人が大部分を占めると予想されます。
たしかに「始めに$1$あたり量ありき」と考えれば、$1$あたり量が何であるかを明確にし、そこに数量を掛ける式を作るべきでしょう。その考えなら(a)は$2\times3$であり、同時に日本語での思考と注釈がつくでしょう。でも、必ずしも「はじめに$1$あたり量ありき」ではないはずです。英語なら「はじめに回数ありき」が自然な思考だからです。そのとき(a)では、はじめに子供の$3$人に目がいき、その後、各自が$2$枚ずつの切符を手にしていることがわかるというものです。その考えなら(a)は$3\times2$ですね（この式は片手の$3$枚の$2$倍ではなく、$2$を$3$回加える英語風の立式となっています）。
現代ではむしろ、後者の考えのほうが有利かもしれませんよ。それは例えば「$2$を繰り返し$10$回足す」プログラムを書く場合
\begin{verbatim}
for(i = 1; i <= 10; i++) p += 2;
\end{verbatim}
のような書き方をしますが、見てわかるように「始めに回数ありき」の記述になっているからです。$1$回あたりに加えられる$2$が登場するのは、回数のあとになっています。
結局のところ日本語では
\[
(1あたり量)をn回足す \quad\Longleftrightarrow\quad (1あたり量)\times n
\]
であることは間違いないけれど、「$3$個入りのキャラメル箱が$5$つあるときのキャラメルの総数」を求める式が「$5\times3$」と書かれたからといって、考え方が違うとは言い切れないというわけです。なにしろ、地域やその人ごとに、それぞれの自然体があるはずですから。
\end{document}