% 連分数は 2 枚の鏡が作る像
\documentclass[a4j]{jsarticle}
\pagestyle{myheadings}
\markright{\sf tmt's math page}
\def\baselinestretch{1.33}
\usepackage{tmtmath}
\begin{document}
\section*{◆連分数は$2$枚の鏡が作る像◆}
$2$次方程式
\begin{equation}
x^2 = x+1 \label{x^2Eqx+1}
\end{equation}
を考えます。(\ref{x^2Eqx+1})に$x = 0$を代入しても等式を満たさないので、$x = 0$は(\ref{x^2Eqx+1})の解ではありません。したがって両辺を$x$で割って
\begin{equation}
x = 1+\frac{1}{x} \label{xEq1+1/x}
\end{equation}
とすることができます。(\ref{xEq1+1/x})をただの等式と見ればそれまでの話ですが、これを、左辺の$x$を求めるために、わざわざ右辺に$x$を代入している、と見れば別の世界が開けてくるのです。
ややこしい話ですけれど、(\ref{xEq1+1/x})の$\displaystyle x = 1+\frac{1}{x}$を(\ref{xEq1+1/x})の右辺の$x$に代入してみましょう。
\[
x = 1 +\cfrac{1}{1
+\frac{1}{x}
}
\]
となるはずです。右辺にはまだ$x$が存在するので、再び$\displaystyle x = 1+\frac{1}{x}$を右辺にある$x$に代入すると
\[
x = 1 +\cfrac{1}{1
+\cfrac{1}{1
+\frac{1}{x}
}}
\]
となります。右辺にはまだ$x$が存在するので\ldots。
これではきりがありませんね。なにしろこの操作は無限に続けることができるからです。そして無限に続けることで
\begin{equation}
x = 1 +\cfrac{1}{1
+\cfrac{1}{1
+\cfrac{1}{1
+\cdots
}}} \label{1/contfrac}
\end{equation}
となるでしょう。
このように、分数の中に分数が幾重にも重なる分数を「連分数」と呼びます。分数の中にそれ自身と同じ分数が幾重にも重なっていく様子は、向かい合わせた$2$枚の鏡をのぞいたとき、どこまでも鏡が映っていくのに似ています。連分数は一般に
\[
a = q_1 +\cfrac{1}{q_2
+\cfrac{1}{q_3
+\cfrac{1}{q_4
+\cdots
}}}
\]
で表しますが、これでは紙面を使い過ぎるので
\[
a = q_1 +\frac{1}{q_2}
{{}\atop+}\frac{1}{q_3}
{{}\atop+}\frac{1}{q_4}
{{}\atop+}{{}\atop\cdots}
\]
や\footnote{$+$が低い位置に書かれていることに注意してください。}
\begin{equation}
a = [q_1,\ q_2,\ q_3,\ q_4,\ \cdots] \label{matrixScript}
\end{equation}
で表すことが多いものです。特に(\ref{matrixScript})の記述ができるのは、連分数の各分子が常に$1$であるからですが、このことについては後で述べます。
ところで(\ref{1/contfrac})に戻れば、$x$の解が連分数で求められたことになります。しかし、$x$は単に(\ref{x^2Eqx+1})を$2$次方程式の解の公式で求めるだけなので、$\displaystyle x = \frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$であることはすぐにわかります。つまり
\[
\frac{1+\sqrt{5}}{2} = 1 +\frac{1}{1}
{{}\atop +}\cfrac{1}{1}
{{}\atop +}\cfrac{1}{1}
{{}\atop +}{{}\atop\cdots}
\]
なのです。右辺の連分数には$1$以外の数がありません。そのためこれは、連分数の中でも特別な連分数であると言えるでしょう。実は、連分数が表す$\displaystyle x = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$は「黄金比」と呼ばれる数で、昔から大変美しい数であるとされてきた数なのです。
ここで、$\displaystyle x = \frac{1-\sqrt{5}}{2}$のほうはどうなったか気になる人がいるでしょう。連分数には$+1$しか使われていないので明らかに正です。一方、$\displaystyle x = \frac{1-\sqrt{5}}{2} < 0$ですから、ここで求めた連分数は$\displaystyle x = \frac{1-\sqrt{5}}{2}$ではありません。不思議ですね。(\ref{x^2Eqx+1})を$2$次方程式の解の公式で求めれば$2$つの解がでるのに、それと同値であるはずの(\ref{xEq1+1/x})から作った連分数からはひとつの解しか得られていません。なぜでしょう。
それには理由があります。実は(\ref{xEq1+1/x})において、\.右\-\.辺\-\.の\-\.分\-\.母にある$x$について$x = \cdots$と書き直せば
\[
x = \frac{1}{-1+x}
\]
になります。そして、ここに次々と$x$を代入すると
\[
x = \cfrac{1}{-1}
{{}\atop+}\cfrac{1}{-1}
{{}\atop+}\cfrac{1}{-1}
{{}\atop+}{{}\atop\cdots}
\]
となって、これが$\displaystyle x = \frac{1-\sqrt{5}}{2}$になるのです。
別の例を示します。もし最初に与えられた$2$次方程式が$x^2 = 5x-2$であれば、$\displaystyle x = 5-\frac{2}{x}$を繰り返し代入することで
\[
x = 5 -\cfrac{2}{5}
{{}\atop-}\cfrac{2}{5}
{{}\atop-}\cfrac{2}{5}
{{}\atop-}{{}\atop\cdots}
\]
を得ます。これは解の公式から求められる$2$つの解のうち、$\displaystyle \frac{5+\sqrt{17}}{2}$のほうにあたります。でも、この連分数は各分子が$1$ではないですね。どうすれば各分子が$1$になるのでしょうか。
各分子が$1$である連分数は、比較的簡単に作ることができます。ある数$a$が小数で表して
\[
a = q_1 + 0.\alpha_1\alpha_2\alpha_3\cdots
\]
となったとしましょう。これは
\[
a = q_1 +\cfrac{1}{
\cfrac{1}{0.\alpha_1\alpha_2\alpha_3\cdots}
}
\]
と書き直すことができます。このとき$\displaystyle \frac{1}{0.\alpha_1\alpha_2\alpha_3\cdots}$は必ず$1$より大きい値の小数になります。そこで、整数部分を$q_2$として分離し、$\displaystyle \frac{1}{0.\alpha_1\alpha_2\alpha_3\cdots} = q_2 + 0.\beta_1\beta_2\beta_3\cdots$と書くことにすると
\[
a = q_1 +\cfrac{1}{q_2 + 0.\beta_1\beta_2\beta_3\cdots}
\]
ですが、これは
\[
a = q_1 +\cfrac{1}{q_2
+\cfrac{1}{
\cfrac{1}{0.\beta_1\beta_2\beta_3\cdots}
}}
\]
と書き直せます。すると、また同じ理屈で
\[
a = q_1 +\cfrac{1}{q_2
+\cfrac{1}{q_3
+\cfrac{1}{
\cfrac{1}{0.\gamma_1\gamma_2\gamma_3\cdots}
}}}
\]
になっていきます。この繰り返しで$q_1, q_2, q_3, \ldots > 0$なる整数だけで連分数を作れるのです。
ここで$\displaystyle \frac{1}{0.\alpha_1\alpha_2\alpha_3\cdots}$のような、無限小数の逆数をどうやって求めるか疑問に思うかも知れません。相手にもよりますが、無限小数が$a+b\sqrt{n}$（$a$, $b$, $n$は有理数）の無理数なら簡単なものです。$\sqrt{2}$を例にとって説明しましょう。
\begin{eqnarray}
\sqrt{2} &=& 1+(\sqrt{2}-1) \nonumber \\
&=& 1+\cfrac{1}{\frac{1}{\sqrt{2}-1}} \label{toContFrac1} \\
&=& 1+\cfrac{1}{\sqrt{2}+1} \label{toRatioNum} \\
&=& 1+\cfrac{1}{2+(\sqrt{2}-1)} \nonumber \\
&=& 1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{\frac{1}{\sqrt{2}-1}}}\ . \label{toContFrac2}
\end{eqnarray}
(\ref{toContFrac1})の\.分\-\.母\-\.の\-\.分\-\.母を有理化したのが(\ref{toRatioNum})です。(\ref{toContFrac2})で再び同じ形がでますから、以下、同じことの繰り返しです。これで$\sqrt{2}$の連分数が求められるのです。結果は
\[
\sqrt{2} = 1 +\frac{1}{2}
{{}\atop+}\frac{1}{2}
{{}\atop+}\frac{1}{2}
{{}\atop+}{{}\atop\cdots}
\]
です。$\sqrt{2}$以外の数でも、有理化できる数であれば連分数にすることは容易です\footnote{$a+b\sqrt{n}$の無理数は連分数にできるのはもちろん、$q_1$, $q_2$, $q_3$, \ldots が循環することが知られています。また、有理数は有限の連分数になります。}。
もし、いろいろな数を連分数にする試みを続けると、使われる数は圧倒的に$1$や$2$のような数が多いことに気づくでしょう。$100$や$200$のような大きな数は現れないのでしょうか。実は、大きな数も現れるけれど「確率的に」低い頻度で現れることになります。それはこういうことです。
$\displaystyle \frac{1}{0.\alpha_1\alpha_2\alpha_3\cdots}$の分数を$q_2+0.\beta_1\beta_2\beta_3\cdots$の小数に直すと$q_2 \ge 1$ですが、$q_2$の値は$0.\alpha_1\alpha_2\alpha_3\cdots$の大きさに依存しているのです。例えば$\displaystyle \frac{1}{0.9}$、$\displaystyle \frac{1}{0.8}$、$\displaystyle \frac{1}{0.7}$、$\displaystyle \frac{1}{0.6}$はすべて$1.\cdots$なる小数ですが、これと同じ有効桁を分母にもつ分数で、$3.\cdots$なる小数になるのは$\displaystyle \frac{1}{0.3}$だけです。別の言い方をすれば
\begin{table}[h]
\begin{center}
\begin{tabular}{|c||c|c|c|c|c|} \hline
$0.\alpha_1\alpha_2\alpha_3\cdots$ & $1.0 > \cdot > 0.5$ & $0.5 \ge \cdot > 0.333\cdots$ & $0.333\cdots \ge \cdot > 0.25$ & $0.25 \ge \cdot > 0.2$ & $\cdots$\\ \hline
$q_2$ & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $\cdots$ \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}
\newline
のように、$q_2$が大きいほど$0.\alpha_1\alpha_2\alpha_3\cdots$がとれる範囲が狭まっていきます。連分数に現れる$q_k$は、必ずしも確率統計的な分布に従うわけではありませんが、$100$や$200$が現れることは珍しい部類に入るのです。
\end{document}