% 1 対 1 対応は怪しげな関係
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\def\baselinestretch{1.33}
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\begin{document}
\section*{◆一対一対応は怪しげな関係◆}
一対一の対応は、大変直感的でわかりやすいものです。$6$人の子どもがいて、ひとりひとりが帽子を持っていれば、子どもと帽子は一対一対応をしています。もし、帽子に名前が書いてあれば、Aという名の子どもはAと書かれた帽子を手にするでしょう。決して、Bと書かれた帽子を手にすることはありません。逆にCと書かれた帽子はCという名前の子どもの物ですから、決してDという子どもが手にすることもないでしょう。
つまり、子どもの中のだれかひとりを選べば、ただひとつの帽子を決定できるし、帽子の中からどれかひとつを選んでも、ただひとりの子どもを決定できます。一対一対応の本質はここにあります。
私たちは、小学校から自然な形で一対一対応に親しんでいます。低学年でものを数える作業は、ものと自然数との対応になっています。高学年で比例の学習をするときも、何々の何倍という言いかたをしていますが、もとの状態と何倍かしたあとの状態が対応しています。
また、練習問題を解く場合は、大抵ひとつの答がでるものですが、これは一対一対応の問題を選んでいるからなのです。時速何kmで何時間進むと距離はどれだけですか？ 底辺と高さがそれぞれ何cmである三角形の面積を求めなさい、などはきちんとした対応の上に成り立つ問題です。ですから、答もひとつだけでるのです。
もし、$3$km先の公園まで歩くと何時間かかりますか？とか、面積が何々cm$^2$の長方形の縦と横の長さはどれだけですか？などと質問されたら困ります。一対一対応ではないからです。
その点、比例は一対一対応の模範生です。簡単な例で$y = 2x$を考えましょう。大変おおまかな考えですが、
\begin{center}
\begin{tabular}{c|cccccccccc}
$x$ & $\cdots$ & $-3$ & $-2$ & $-1$ & $0$ & $1$ & ($1.23$) & $2$ & $3$ & $\cdots$\\ \hline
$y$ & $\cdots$ & $-6$ & $-4$ & $-2$ & $0$ & $2$ & ($2.46$) & $4$ & $6$ & $\cdots$
\end{tabular}
\end{center}
と対応表を作っておけば、整数間の半端な値も想像しやすいでしょう。そこから、$x$, $y$の関係がグラフ上に
\vspace{.33\baselineskip}
\begin{drawpict}[1cm](4, 4)(-1, -1) %tmtmath.sty
\coordinate[R](-1, 3)(-1, 3)
\put(-.5, -1){\line(1,2){2}} %直線
\put(0, 0){\dashbox{.05}(1.23, 2.46){}}
\put(1.23, -.1){\makebox(0, 0)[t]{$1.23$}}
\put(-.1, 2.46){\makebox(0, 0)[r]{$2.46$}}
\end{drawpict}
と浮かび上がることも自然に理解できるはずです。
そして、表の対応からでもグラフからでも、たとえば$x = 1.23$に対してただひとつの$y = 2.46$が対応したり、また、$y = \pi$のような値でさえもただひとつの$\displaystyle x = \frac{\pi}{2}$が対応することがわかります。大変気持ちのよいものですね。
では同じグラフで、目を$1 \le x \le 2$に向けてみましょう。ここでは範囲を指定したわけです。すると、$x$の範囲に対応して$y$の範囲が決まります。それは$2 \le y \le 4$です。$x$のあるひとつの区間に対して、$y$のあるひとつの区間が対応しているので、特別おかしなことはないと思うでしょう。でも、グラフをよく見てください。
\vspace{.33\baselineskip}
\begin{drawpict}[.8cm](5, 6)(-1, -1) %tmtmath.sty
\coordinate[R](-1, 4)(-1, 5)
\put(-.5, -1){\line(1,2){3}} %直線
\put(0, 0){\dashbox{.05}(1, 2){}}
\put(1, -.1){\makebox(0, 0)[t]{$1$}}
\put(-.1, 2){\makebox(0, 0)[r]{$2$}}
\put(0, 0){\dashbox{.05}(2, 4){}}
\put(2, -.1){\makebox(0, 0)[t]{$2$}}
\put(-.1, 4){\makebox(0, 0)[r]{$4$}}
\end{drawpict}
$x$の区間の長さは$1$なのに、$y$の区間は$2$の長さです。あれれ？ きちんと$x$軸上の点と$y$軸上の点は一対一対応をしていたはずですね。なのに、どうして長さが変わってしまうのでしょう。
ひとつの考えとしては、点は隙間を空けて並んでいるというものです。隙間が開いていれば、$x$軸上での間隔と$y$軸上での間隔が違えば、完璧な一対一対応でも見た目の長さは変わってきます。でも、点と点の間に隙間はありません。それは次のようにして説明できます。
まず、点と点の間に隙間があるというのは、点と点の間に値がないと考えてよいでしょう。仮に$x$軸上の$a$と$b$の間に隙間があるとしてみます。しかし、$a$と$b$の間には自由に点を打つことができます。ひとつの例は$\displaystyle \frac{a+b}{2}$を作ることです。このことから任意の$2$点の間には、隙間なんてあり得ないことがわかります。つまり点はつながっているのです。ただ、数学では「$(つながっている) = (連続)$」では\.な\-\.いことを指摘しておきます。この微妙な考えは、目の前の疑問を解決してから話すことにしましょう。
点と点の間に隙間がないとすれば次に考えたいのは、点はつながっているが、ゴムのように伸び縮みが可能だというものです。$x$軸上の区間が始めの状態、$y$軸上の区間が$1$秒後の状態です。ゴムは始めも$1$秒後も同じ物ですから、この感覚のほうが自然でしょうか。
でも、$y = 2x$の例は直線が伸びているわけではありません。今の例ではグラフの長さは$\sqrt{5}$ですが、直線上の点から$x$軸と$y$軸を同時に見れば、それぞれひとつの点しか対応していません。一対一対応であることは間違いありません。けれど$\sqrt{5}$から$x$軸を見れば長さ$1$に、$y$軸を見れば長さ$2$になっています。何か変ですね。
混乱の原因は「対応」にあります。ここでの対応は、私たちが普段考えている対応とは根本が違うのです。
例えば``りんごが$5$つある''とは、各りんごに自然数$1$, $2$, $3$, $4$, $5$が一対一対応していると見ます。このとき、りんごの数（かず）は$5$に等しいと言います。普段はこんな見方をしませんが、数をかぞえるとはこういうことなのです。
では、同様の考えで偶数の数をかぞえてみましょう。りんごの例同様に、偶数に自然数をひとつづつあてがえばよいので、
\begin{center}
\begin{tabular}{lcccccc}
偶数 & $2$ & $4$ & $6$ & $8$ & $10$ & $\cdots$\\
& $\updownarrow$ & $\updownarrow$ & $\updownarrow$ & $\updownarrow$ & $\updownarrow$ & $\cdots$\\
自然数 & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $\cdots$
\end{tabular}
\end{center}
のような対応になります。対応は無限の彼方へ向かって行きますが、もれなく対応がついていることに注意を払ってください。$5$つのりんごに自然数が$1$から$5$まで対応して、りんごの数と自然数の数が等しいとみなしたので、偶数と自然数がすべて対応していれば、やはり偶数と自然数は同じ数（かず）だけある、と考えるのがいいでしょう。このときに数（かず）ということばは適切でないように思えるので、「濃度」という用語を使いたいと思います。
これを見ると、日常の感覚では偶数は自然数の半分しかないはずなのに、互いに一対一の対応がつく量と言えるのです。不思議な感覚ですね。
そして、濃度の感覚が先ほどの$y = 2x$の関係に当てはまります。$x$軸上の区間$1 \le x \le 2$と$y$軸上の区間$2 \le y \le 4$は等しい濃度です。自然数は偶数の$2$倍あるように見えても、等しい濃度であるがゆえに、一対一対応になります。同様に、区間$2 \le y \le 4$は区間$1 \le x \le 2$の$2$倍あるように見えても、等しい濃度であるがゆえに一対一対応になっているのです。何だかわかったような意味不明のような\ldots。
そう感じるのは仕方ありません。それは、直線自体が不思議な性質を持っているからです。
直線は無数の点によってつながっています。そして、ある視点のもとでは「連続」ですが、視点を変えればつながっていても連続ではない状態なのです。これまた意味不明ですね。順を追って説明しましょう。
まず、数直線は「連続」な直線です。連続とは切れ目がないということなのです。連続な直線に切れ目を入れるのは簡単です。任意の$1$点を抜けばよいからです。たとえば、数直線から点$0$を抜けば、直線は正の部分と負の部分に分けられます。
\vspace{.33\baselineskip}
\begin{drawpict}[.5cm](20, 1.5)(-10, -1) %tmtmath.sty
\put(-10, 0){\line(1,0){9.9}} %数直線左
\put(0, 0){\circle{.2}}
\put(.1, 0){\line(1,0){9.9}} %数直線右
\multiput(-9, -.1)(1, 0){9}{\line(0,1){.2}}
\multiput(1, -.1)(1, 0){9}{\line(0,1){.2}}
\put(-5, -.1){\makebox(0, 0)[t]{$-5$}}
\put(0, -.1){\makebox(0, 0)[t]{$0$}}
\put(5, -.1){\makebox(0, 0)[t]{$5$}}
\end{drawpict}
さて、今度は整数値の点をもとに直線を作ってみましょう。作り方はさっきの考えで、$0$と$1$の中間に$0.5$、さらに$0$と$0.5$の間に$0.25$、またその間に$0.125$、\ldots という具合にです。それでは中間部分にしか点が埋まっていかないので、$\displaystyle \frac{1}{3}$にあたる点や$\displaystyle \frac{1}{7}$にあたる点、そして$\displaystyle \frac{1}{3}$と$\displaystyle \frac{1}{7}$の間に対しても様々な点を入れましょう。このように整数をもとにあらゆる点を作ります\footnote{こういう点は「有理点」と呼ばれます。}。
\vspace{.33\baselineskip}
\begin{drawpict}[.5cm](20, 5.5)(-10, -1) %tmtmath.sty
\multiput(-10, 4)(.2, 0){100}{\circle*{.1}}
\put(-5, 3.9){\makebox(0, 0)[t]{$-5$}}
\put(0, 3.9){\makebox(0, 0)[t]{$0$}}
\put(5, 3.9){\makebox(0, 0)[t]{$5$}}
\put(0, 2){\makebox(0, 0){$\Downarrow$}}
\put(-10, 0){\line(1,0){20}}
\put(-5, -.1){\makebox(0, 0)[t]{$-5$}}
\put(0, -.1){\makebox(0, 0)[t]{$0$}}
\put(5, -.1){\makebox(0, 0)[t]{$5$}}
\end{drawpict}
これで点がつながりました。しかしこれは連続な直線ではないのです。なぜなら、たとえば$\sqrt{2}$で直線は切れています。切れているけど、隙間はありません。え？ 何だって？ 言ってることが矛盾していないかって？ そうですね。何となく矛盾しています。でも、普通の意味での隙間は指摘できないはずです。それは、$\sqrt{2}-\epsilon$と$\sqrt{2}+\epsilon$の間には、無数の点を埋め込むことかできますから、隙間を見つける暇はありません。でも連続ではないのですよ。
この不思議な状態は「稠密（ちゅうみつ）」と呼ばれています。一対一対応と言いながら、どうもしっくりこない対応がされているのは、こんなところに微妙な感覚が潜んでいたからなんです。
\end{document}