% 限りなく近づく
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\def\baselinestretch{1.33}
\begin{document}
\noindent{\bf 限りなく近づく(approaches)}
数学では、日常ではあり得ない極限の状態を好んで使う。無限というのも極限の一種だが、それよりも奇妙なのは``限りなく近づく''もしくは``限りなく近い''という考えだ。
たとえば$y = \displaystyle\frac{1}{1-x}$という関数を考えてみよう。$x = 0$を代入すれば$y = 1$だし、$x = -1$を代入すれば$y = \displaystyle\frac{1}{2}$である。しかし、$x = 1$を代入するわけにはいかない。分母が$0$になってしまうからだ。
では、$x = 1$以外なら何を代入してもいいの？\hspace{1zw}そう、もちろん大丈夫だ。$x = 0.99999999$でもよいし、$1.00000001$でもかまわない。$0.9999(数えきれないほどの9\cdots)9999$だって問題ない。限りなく近づくというのは、この$(数えきれないほどの9\cdots)$が増え続けているさまを想像するとよいだろう。
ちょっと待って。$0.9999(数えきれないほどの9\cdots)9999$って$0.99999999(数えきれないほどの9\cdots)$と違うの？\hspace{1zw}こう書いても$(数えきれないほどの9\cdots)$が増え続けるなら同じことだよね。
残念ながら違う。なぜなら
\[
0.9999(数えきれないほどの9\cdots)9999 \ne 1
\]
だが
\[
0.99999999(数えきれないほどの9\cdots) = 1
\]
だからである。
どちらも$9$が無数にあることに違いないが、前者が$1$に限りなく近づくさまを（私のイメージとして）表しているのに対し、後者は数が$1$になる限りないさまを（数学の表現として）表しているからだ。微妙に言葉遣いが違うことに注意を払ってほしい。
前者が$1$と等しくないこと、すなわち$0.9999(数えきれないほどの9\cdots)9999$と$1$に差があることを示そう。
\[
1-0.9999(数えきれないほどの9\cdots)9999 = 0.0000(数えきれないほどの0\cdots)0001
\]
となるから、明らかに差がある。$2$数は別ものだ。
一方、$0.99999999(数えきれないほどの9\cdots)$と$1$に差がないことも示そう。
\[
1-0.99999999(数えきれないほどの9\cdots) = 0.00000000(数えきれないほどの0\cdots)
\]
となるから、明らかに差はない。$2$数は同じものである。
なんだか煙に巻いたようで恐縮だが、要するに限りなく近づく状態とは、ことさら微妙な感覚の上に成り立つ考えであることは間違いない。数学って、こんな危なっかしい土台に載っているものなんだ。
\end{document}