% 0.999...は1ではありませんよね？
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\markright{\sf tmt's Math Page}
\begin{document}
\section*{●$0.999\cdots$は$1$ではありませんよね？●}
\begin{enumerate}
\item[{\gt F:}] $0.999\cdots$は$1$ではありませんよね？
\item[{\gt T:}] $0.999\cdots$が$1$でないとすると、どちらか一方が小さいということになりますね。
\item[{\gt F:}] $0.999\cdots$のほうが小さいです。
\item[{\gt T:}] どれぐらい小さいのですか？
\item[{\gt F:}] $0.000\cdots$なんとかです。
\item[{\gt T:}] それは$0$のことではありませんか？
\item[{\gt F:}] いいえ、$0$ではなくて、$0$と区別できないぐらいの小ささです。
\item[{\gt T:}] そうすると、$0.999\cdots$にその数を足したものが$1$ということですか？
\item[{\gt F:}] そうです。
\item[{\gt T:}] では、その数を$\ddot0$で表してもかまいませんか。
\item[{\gt F:}] ええ。
\item[{\gt T:}] では、改めて書くと$(0.999\cdots)+\ddot0 = 1$というわけですね。
\item[{\gt F:}] そうです。
\item[{\gt T:}] ところで、$9.999\cdots$と$10$は等しいと思いますか？
\item[{\gt F:}] いいえ。
\item[{\gt T:}] それなら、小さいのはどちらですか？
\item[{\gt F:}] $9.999\cdots$のほうです。
\item[{\gt T:}] どれぐらい小さいのですか？
\item[{\gt F:}] それは\ldots さっきと同じで$\ddot0$だけ小さいはずです。
\item[{\gt T:}] すると、$(9.999\cdots)+\ddot0 = 10$というわけですね。
\item[{\gt F:}] はい。
\item[{\gt T:}] $10$は$1$の$10$倍だと思いますが、$9.999\cdots$も$0.999\cdots$の$10$倍でありませんか？
\item[{\gt F:}] \ldots そうですね。
\item[{\gt T:}] $(0.999\cdots)+\ddot0 = 1$だったわけですから、全体を$10$倍すると$(9.999\cdots)+10\cdot\ddot0 = 10$になりますね。すると、$\ddot0 = 10\cdot\ddot0$でなくてはならないので、$\ddot0 = 0$ではありませんか？
\item[{\gt F:}] $\ddot0 = 10\cdot\ddot0$まではいいと思いますが、だからといって$\ddot0 = 0$ではありません。$\ddot0$は$\infty$の無限小版とでもいうべきもので、$10\times\infty = \infty$と考えるように、$10\cdot\ddot0 = \ddot0$となるような数だと考えます。$0$ではありません。
\item[{\gt T:}] 分かりました。あくまでも$\ddot0 \ne 0$であり、かつ、$(0.999\cdots)+\ddot0 = 1$であるということですね。
\item[{\gt F:}] はい。
\item[{\gt T:}] では、両辺を$2$乗してみましょう。$\{(0.999\cdots)+\ddot0\}^2 = 1^2$の左辺を展開して、$(0.999\cdots)^2+2\cdot(0.999\cdots)\cdot\ddot0+\ddot0^2 = 1$がいえますね。
\item[{\gt F:}] はい。
\item[{\gt T:}] $\ddot0$が$\infty$のような性質をもつならば、$\ddot0$は何倍しても$\ddot0$だから$2\cdot(0.999\cdots)\cdot\ddot0$も$\ddot0^2$も$\ddot0$ですから、ここは$\ddot0+\ddot0$になって、結局$\ddot0$に落ち着きますね。つまり、$2$乗すると$(0.999\cdots)^2+\ddot0 = 1$になりますね。
\item[{\gt F:}] はい。
\item[{\gt T:}] ならば、$2$乗する前と$2$乗した後を比較して、$(0.999\cdots) = (0.999\cdots)^2$ではありませんか。$0.999\cdots$は$2$乗したものと同じ値になっていますよ。
\item[{\gt F:}] そうですね。
\item[{\gt T:}] ある数を$2$乗しても、ある数と同じになるような数は$0$か$1$しかないのではありませんか？
\item[{\gt F:}] \ldots。
\item[{\gt T:}] $0.999\cdots$は明らかに$0$ではないので、それなら$0.999\cdots$は$1$ではありませんか？
\item[{\gt F:}] \ldots 訂正します。先ほど$10\cdot\ddot0 = \ddot0$でいいとしましたが、$10\cdot\ddot0$は$10\cdot\ddot0$のままです。$0.999\cdots$と$1$の差が$\ddot0$ならば、$10$倍すれば差も$10\cdot\ddot0$になっていいと思います。
\item[{\gt T:}] そうですか。あくまで$(0.999\cdots) < 1$であり、その差は、これ以上ないほど小さな値、でも$0$ではないと言うわけですね。
\item[{\gt F:}] はい。
\item[{\gt T:}] $1+(0.999\cdots)$はいくつですか？
\item[{\gt F:}] $1.999\cdots$です。
\item[{\gt T:}] では、$\{1+(0.999\cdots)\}/2 = (1.999\cdots)\div2$ですね。筆算で割れるはずなので、計算してみてください。
\item[{\gt F:}] ええっと、$0.999\cdots$になります。
\item[{\gt T:}] この答である$0.999\cdots$は、$1$に足した$0.999\cdots$と同じ値ですか？
\item[{\gt F:}] 同じだと思います。
\item[{\gt T:}] それなら、$(0.999\cdots) = x$とおくと$(1+x)/2 = x$ですから、$x = 1$ですよね。
\item[{\gt F:}] それは、方程式ではそう見えるだけだと思います。$\{1+(0.999\cdots)\}/2$は、$1$に$1$より小さい数を足して$2$で割っているので、答が$1$より小さくなるのは当たり前ではありませんか？\hspace{1zw}$x = 1$というのは$(1+1)/2 = 1$のことなので、これもまた当たり前です。つまり、$\{1+(0.999\cdots)\}/2 = (0.999\cdots)$は$(1+1)/2 = 1$とは別の当たり前のことです。
\item[{\gt T:}] なるほど。ところで$\{1+(0.999\cdots)\}/2$は$1$と$0.999\cdots$の平均を求める当たり前の計算ではないですか？
\item[{\gt F:}] そうです。だから$1$と$1$より小さい数の平均が$1$より小さい値になるのは当然です。
\item[{\gt T:}] しかし、異なる値$a$, $b$の平均は$a$と$b$のちょうど真ん中の値になるはずだから、平均値は$a$より大きく$b$より小さい数値のはずですね。そうすると$(0.999\cdots) < ^{平均値の}(0.999\cdots) < 1$ですね。
\item[{\gt F:}] はい。
\item[{\gt T:}] $0.999\cdots$がこれ以上ないほど$1$に近い数だとしたら、$0.999\cdots$と$1$の間に$0.999\cdots$があるのはおかしくありませんか？
\item[{\gt F:}] $\ldots$。
\item[{\gt T:}] $a$, $b$が同じ値なら平均値である$(a+b)/2$もまた同じ値なので、$a = (a+b)/2 = b$ですね。$0.999\cdots$が$1$だからこそ、$(0.999\cdots) = \{1+(0.999\cdots)\}/2 = 1$と言えるのではないですか？
\end{enumerate}
\end{document}